VRM Terminal

実際の鉄道ではカーブに差し掛かる箇所に無限大の半径からだんだん小さくなる「緩和曲線」を挿入し、乗り心地の維持や脱線防止に一役買っています。ところが、VRMは長らく鉄道模型、中でも道床付レールを想定したソフトだったので、直線と曲線(円曲線)は1点で移行するという宿命を抱えていました。

2005年、VRM4第3号に自由に曲がる「フレキシブルレール」が収録されましたが、これまで本格的に緩和曲線を再現した例はなかったようです。 2011年現在、VRM5/Onlineでは「フレキシブルカントレール」もリリースされています。是非とも、緩和曲線×カントでリアルな列車の動きを見てみたいものです。

緩和曲線とは？

VRMで緩和曲線を再現するためには、実際の緩和曲線について基本的な知識があったほうがよいでしょう。

各種鉄道工学の本によると、緩和曲線は3次曲線で構成されると言います。3次曲線とは、y=ax^3で得られるグラフの曲線のことです。どうやら3次曲線はだんだん曲率半径が小さくなるという性質を持っているようです。

ベジエ曲線の設計

実際には線形や走行する車両によって長さ基準で緩和曲線を挿入するようです。しかし、VRMのカーブレールは15度ごとに設計されていますから、緩和曲線も15度またはその半分の7.5度で設計した方が都合が良さそうですね。

一応ざっと説明をしますが、たぶん誰も読まないので相当端折ります。

上のグラフを見てください。青い線は３次関数y=ax³（a=1)で、赤い線は青い線に接する傾き15°の直線です。原点から接点Pまでの青線が、緩和曲線部分となります。 ちなみに、15°と書かれた直線はどうにも15°には見えませんが、これはx軸とy軸で目盛りが異なるためです。

（注：ここからの計算はExcelなどの計算ツールを使用することを推奨します。）

まずは、緩和曲線と円曲線の接続点P(t,s)の座標を求めましょう。直線の「傾き15°」を一般的な(yの変化量)/(xの変化量)という表し方に改めます。これは、tan15°です。 そして、3次曲線のx=tにおける接線の傾きは、微分法により3at²で算出されます。ここではa=1とすると、

これを解くと、t≒0.2989 となり、P(0.2989, 0.0267)とわかります。

それでは、Pから滑らかに接続する円曲線の半径rを求めます。これは 1/(6ルート云々・・・) という複雑な計算式で求められ、a=1のときr≒0.1459です。
（この計算は、はいでさん『おきらく研究室』より 『緩和曲線の作り方』を参考にさせていただきました。）

ここまでで、a=1のときのPの座標とrの大きさがわかりましたので、rと任意の円曲線の半径Rを基準に拡大してやると使えるようになります。

円曲線の半径r'における緩和曲線との接続点をP'(t',s')とおきます。

で求める事が出来ます。

（例：r'=495[mm]のときの、P'の座標）

フレキシブルレールの変形

それでは、計算結果をもとにフレキシブルレールを曲げてみましょう。

しかし、その前に一つ注意点があります。3次曲線の特性上、r'に34mm違いの数値を代入すると、始点と終点で複線間隔がずれます。 こればかりは仕方がないので、通常半径と大半径のそれぞれ真ん中(495mm,886mm)に合わせて緩和曲線をつくり、他の半径はそれと平行に曲げていきます（正確な3次曲線とは異なるものになります）。

テンプレートのダウンロード

以上の計算に基づき設計した緩和曲線を、テンプレートレイアウトとして公開しています。標準半径/大半径の15°のカントなし/あり緩和曲線のほか、7.5°大半径カント付き緩和曲線を収録しています。

ダウンロードは、専用のダウンロードページから行ってください。

今後の課題(2015年3月追記)

以上の内容は2010年に執筆したものがベースです。（ほとんど改変していません。）

2010年以降も、ときどき緩和曲線に取り掛かって改良を模索してはいますが、そもそもの問題点があります。ベジエ曲線はパラメータ曲線だという話は省略しますが、「VRMのフレキシブルカントレールはカント量がtに対して線形である」ことです。これだと3次緩和曲線となるよう曲げたときのカント量の増加率が曲線長に対しておかしいことになってそもそもの緩和曲線の意味から外れてしまいます。

曲率の変化(振り子車の振子角が依存する)と、カント量の変化が、ベジエ曲線という制約の中でどうやったらうまくおさまるかを検討する必要があるのですが、あまり頭が良くないので特に進捗がない感じです。